Leetcode 72.编辑距离

题目描述：

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

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输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

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输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

• 0 <= word1.length, word2.length <= 500
• word1 和 word2 由小写英文字母组成

链接：

https://leetcode-cn.com/problems/edit-distance

题目分析

  我们需要做的是将 word1 转换到 word2，而每一步操作都只涉及到 1 个字母的变化，一共有 3 种操作，也即插入、替换、删除。其中插入和删除的操作比较难以处理，可能会陷入死循环，有没有办法解决呢？其实 word1 的删除操作和 word2 的插入操作是等价的。比如 abcd -> abc，既可以看做是左边删除了一个 d，变成 abc = abc，也可以视为右边添加了一个 d，变成 abcd = abcd，操作步数都是 1，同样能让两个单词相同。因此我们的方法有以下三种

• word1 插入一个字符
• word2 插入一个字符
• word1 替换一个字符

  注意到以上的操作方法次序对结果是没有影响的，因此我们可以从左到右逐步对字符进行操作，便可以使用动态规划的方法解决。我们逐步分析两个字符串，并保留操作次数最少的方法。dp[i][j] 的值表示 word1 的前 i 个字符与 word2 的前 j 个字符进行匹配需要的最少步数（也即它们的编辑距离）。而每次我们只在字符串的最后进行操作。我们分析状态转移方程，也即 dp[i][j] 的值如何确定。

• 如果最后一步操作是 word1 插入字符，也即进行了 dp[i][j-1] 的操作之后，我们将 word2 的第 j 个字符插入到 word1 最后。
• 如果最后一步操作是 word2 插入字符，也即进行了 dp[i-1][j] 的操作之后，我们将 word1 的第 i 个字符插入到 word2 最后。
• 如果最后一步操作是 word1 替换字符，也即进行了 dp[i-1][j-1] 的操作之后，我们将 word1 的第 i 个字符替换为 word2 的第 j 个字符（如果这两个字符本来就是相同的，则无需替换）。

  以上的三种操作中，我们总是选取操作次数最小的那个作为 dp[i][j] 的值进行状态转移，最后就能够得到 dp[m][n] 也即 word1 转换为 word2 的最少操作数。而边界情况是什么样的？边界情况是其中某一个字符串为空的时候，操作数就是另一个字符串的字符数。也即 dp[0][j] = j，word1 为空时，word1 变为 word2 的操作就是往 word1 插入 j 个字符。同理，dp[i][0] = i。
  注意字符串的下标是从 0 开始的，因此 word1 的第 i 个字符是 word1[i-1]。

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class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        int m = word1.size();
        int n = word2.size();
        if(m * n == 0) return m + n;
        
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

        for(int i = 0; i <= m; i++){
            dp[i][0] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            dp[0][j] = j;
        }
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                int ist = dp[i][j-1] + 1;
                int del = dp[i-1][j] + 1;
                int swp = dp[i-1][j-1] + (word1[i-1] == word2[j-1] ? 0 : 1);
                dp[i][j] = min(ist, min(del, swp));
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

  时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m、n$ 分别是 word1 和 word2 的长度。我们进行了双层遍历。
  空间复杂度：$O(mn)$，其中 $m、n$ 分别是 word1 和 word2 的长度。也即动态规划所需的数组大小。