Leetcode 39.组合总数

题目描述：

给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。

说明：

• 所有数字（包括 target）都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1：

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输入：candidates = [2,3,6,7], target = 7,
所求解集为：
[
  [7],
  [2,2,3]
]

示例 2：

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7

输入：candidates = [2,3,5], target = 8,
所求解集为：
[
  [2,2,2,2],
  [2,3,3],
  [3,5]
]

提示：

• $1 <= candidates.length <= 30$
• $1 <= candidates[i] <= 200$
• candidate 中的每个元素都是独一无二的。
• $1 <= target <= 500$

链接：

https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum

题目分析

  题目要求所有的可行解，则依然可以使用回溯的方法来进行搜索遍历，也即对于每一个数 candidates[i]，都可以选择是否将其加入结果中，然后再转化为搜索 target-candidates[i] 的问题。为了避免产生重复解，我们按照 candidates 的顺序添加，也即若当前选择不添加 candidates[i]，则转化的子问题也不能再添加 candidates[i]。注意到题目中的数字可以无限制重复选取，则我们每次都需要保持从上一次添加的数字开始（也即上一次添加的数字仍然可以添加）。每当 target 为 0，意味着当前添加的数字的和为 target，也即找到了一组解，将其添加到结果列表中。
  而为了加快搜索速度，我们可以进行剪枝。比如我们可以先对 candidates 进行排序，当 target 已经小于当前想添加的数字时，也肯定小于后面所有的数字，则都不会是结果，则可以直接跳出循环返回。

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class Solution {
    void dfs(vector<vector<int>>& result, vector<int>& now, vector<int>& candidates, int begin, int target){
        if(target == 0){
            result.push_back(now);
            return;
        }
        for(int i = begin; i < candidates.size(); i++){
            if(target < candidates[i]) break;
            now.push_back(candidates[i]);
            dfs(result, now, candidates, i, target-candidates[i]);
            now.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        vector<vector<int>> result;
        vector<int> now;

        sort(candidates.begin(), candidates.end());

        dfs(result, now, candidates, 0, target);
        return result;
    }
};

  时间复杂度：$O(S)$，$S$ 是可行解的长度之和。我们遍历了所有的可行解得到结果，而对于不可行的情况马上剪枝，则时间复杂度是可行解的长度之和。因为这道题确实比较难给出一个较紧密的上界。对于每个数字选或者不选，一共拥有非常多的可能，这是指数级别的。但是我们进行的剪枝可以排除掉非常多的情况，因此实际的运行情况不好以target 的大小或者是 candidates 的大小界定。
  空间复杂度：$O(target)$。作为结果返回的数组不计入所需空间中，而所有的数字都是正整数，则最大的可行解长度也就是 target 的值（全由 1 构成可行解），这也是我们栈递归的最大深度，因此空间复杂度为 $O(target)$。